Les critères influant sur le cours d’un warrant sont au nombre de cinq : le cours du sous-jacent (S), le prix d’exercice (E), la durée de vie (T), la volatilité (O) et le taux d’intérêt (r). Tous ces paramètres n’ont évidemment pas la même influence sur le cours du warrant. Le tableau ci-dessous résume les orientations d’un warrant.
Regardons un à un ces paramètres et essayons de comprendre les résultats de façon intuitive. Le mécanisme des warrants peut être compris sans calculs complexes ! Souvent le terme «toutes choses égales par ailleurs», ce fameux « ceteris paribus », est employé lorsque l’on parle du résultat d’une fonction (ici le prix d’un warrant) qui dépend de variables. Il en existe 5 dans notre cas. Ces termes simples signifient que l’étude du comportement du prix tant du call ou du put s’effectue en faisant varier un paramètre tout en conservant les 4 autres constants.
Afin d’éviter une certaine lourdeur dans la rédaction de notre texte nous ne mettrons pas en fin de phrase ce « toutes choses égales par ailleurs », le lecteur le fera pour nous ! Par exemple, l’étude des variations d’un warrant en fonction de l’évolution du support S se fera en supposant les 4 autres variables fixes c-à-d la volatilité, le prix d’exercice, l’échéance et le taux d’intérêt. L’effet de la volatilité sur le prix d’un call ou d’un put s’étudiera en laissant le cours du titre, le prix d’exercice, le taux d’intérêt et l’échéance constants….
Pour arriver à nos conclusions indiquées dans le tableau, rappelons la définition d’un warrant. C’est un droit négociable en Bourse et non l’obligation qui permet à son détenteur d’acheter (call) ou de vendre (put) un nombre spécifié d’actions, à un prix déterminé à l’avance et ce jusqu’à une date définie dans les termes du contrat. Ce droit d’acheter s’obtient, dans le cas d’un call, moyennant le paiement immédiat d’un montant exprimé en euros (prix d’exercice) et, dans le cas de l’exercice d’un put, de l’encaissement immédiat du montant du prix d’exercice.
Les schémas suivants retracent les flux des titres et des actions. Les flèches entrantes indiquent un débit alors que les flèches sortantes un crédit.
Cas d’un call : la première flèche correspond à l’achat du call (débit de C), la deuxième à la possibilité d’exercer le call en versant le prix d’exercice (E) pour recevoir un nombre de titres (S). Le solde de la position se fera lorsque les titres provenant de l’exercice seront vendus sur le marché. Notons que le cours du titre durant ces différentes phases a évolué et que le gain non actualisé s’écrit : S – (C+E)
Cas d’un put : la première flèche correspond à l’achat du put (débit de P), la deuxième à la possibilité d’exercer le put en recevant le prix d’exercice (E) pour être vendeur de titres (S). Le solde de la position se fera lorsque les titres vendus provenant de l’exercice seront achetés sur le marché. Notons que le cours du titre durant ces différentes phases a évolué et que le gain non actualisé s’écrit : E – (P+S)
Évolution du warrant en fonction du support : Dans le cas d’un call, le sens de variation du titre support est le même que celui du prix du call. En effet pour S= 100 et E= 80 le prix du call est par exemple de 23 à un instant t0, si S est en hausse pour atteindre 135, à un instant t0 plus quelques jours, vous avez toujours la possibilité à ce moment d’exercer ce droit c'est-à-dire que moyennant le payement de 80 vous recevrez des titres qui cotent 135, titres qui peuvent être vendus à ce prix sur le marché. Aux frottements près de courtage et d’impôts le gain réalisé est de 32 (décaissement de 23 puis versement de 80 et encaissement de 135 grâce à la vente du support). Dans le cas où S coterait 145 le gain réalisé serait de 42. Ce raisonnement reste valable en cas de baisse du support, et vous aboutissez à montrer que le prix du call diminue.
Rappelons que la valeur d’un bien et en particulier d’un instrument financier (comme une action ou un indice) varie entre 0 et l’infini. Étant détenteur d’une action vous êtes actionnaire et en aucun cas responsable des dettes de l’entreprise. De ce fait si les stratégies prises par cette entreprise conduisent à sa faillite, au pire les actions que vous possédez auront une valeur faible voire nulle mais jamais négative. De façon plus attractive, en termes de valorisation, si les engagements pris par la direction sont excellents la valorisation de l’entreprise n’a pas de limite… en fait il y en a une mais laquelle ?
Pour être complet, donnons les valeurs d’un call aux limites de S, si le cours S tend vers 0 le prix du call tend vers 0. En effet, le prix du droit permettant d’acquérir un bien n’ayant pas ou très peu de valeur, à un prix convenu à l’avance, est faible et tend vers zéro comme la valeur du bien ; d’autre part, si le bien tend vers l’infini le prix de ce droit devient infini. Acheter le droit à un instant donné t0 permettant de posséder une action à un prix défini à l’avance et dont sa valeur ne cesse de monter jusqu’à l’infini, montre que ce droit ne peut tendre que vers l’infini…
Pour un put, le sens de variation est inverse à celui du support. Si le cours S monte (baisse) le prix du put baisse (monte).
En effet, pour S= 100 et E= 120 le prix du put est par exemple de 24. Si S est en baisse pour atteindre 80 vous avez toujours la possibilité à ce moment d’exercer ce droit, c'est-à-dire que vous recevrez 120 et êtes de ce fait vendeur de titres qui cotent 80. Ces titres peuvent être achetés afin de clôturer votre position au prix de 80 sur le marché. Aux frottements près de courtage et d’impôts le gain réalisé est de 16 (décaissement de 24 puis encaissement de 120 et décaissement de 80 pour l’achat du titre). Dans le cas où le cours du support serait de 70 le gain réalisé serait de 26. Ce raisonnement montre que dans le cas d’une hausse du support, le prix du put diminue.
Les valeurs, aux limites de S, du prix du put sont déterminées avec le même raisonnement que celles du call. Si le prix du support S tend vers 0 le prix du put tend vers le prix d’exercice ( dans le cas de l’exercice d’un put, vous recevrez la valeur du prix d’exercice et rachetez un titre qui vaut zéro). Si S tend vers l’infini, le prix du put tend vers 0. En effet lors de l’achat du put, de prix d’exercice 50, le titre cote S0= 60. Quelques jours plus tard, il cote une valeur très supérieure à S0, 120 par exemple. Le prix du put lorsque le titre vaut 120 a terriblement chuté, et bien plus s’il passe a 500 la valeur du put ne vaut presque plus rien. Qui, en effet au moment où S vaut 500 paierait cher le droit de recevoir 50 pour acheter un titre qui vaut à ce moment 500 !….
Évolution du warrant en fonction du prix d’exercice : Plus le prix d’exercice est élevé et plus le prix du call est faible. En effet le prix d’exercice d’un call est le montant qui doit être versé en plus du prix du call pour recevoir en échange le titre support. Imaginons l’existence de deux calls (C1 et C2) sur un même support et ayant même durée de vie mais dont les prix d’exercice sont différents (E1 supérieur à E2). A cours du support constant, plus le montant à payer pour se porter acheteur de S est important et plus le prix du droit, donc du call, doit être faible. De façon similaire plus le prix d’exercice est faible (qui est, rappelons-le, le montant à verser pour être propriétaire du support) et plus le prix du call doit être important.
Aux limites, si E tend vers 0 le prix du call tend vers S, si E tend vers l’infini le prix du call a une valeur indéterminée ou négative. En effet le prix S a une valeur réelle, le prix du droit d’acheter pour E un titre à un cours très supérieur a S devient un non sens.
Pour un put, souvenons nous que le prix d’exercice est le montant perçu par son détenteur lors de l’exercice, somme qui est à déduire du prix versé lors de l’achat du put conduisant à la vente du support au cours du marché. Comme écrit plus haut, imaginons l’existence de deux puts (P1 et P2) sur un même support et ayant même durée de vie mais dont les prix d’exercice sont différents (E1 supérieur à E2). A cours du support constant, plus le montant à recevoir pour se porter vendeur de S est important et plus le prix du droit donc du put doit être important. De façon similaire plus le prix d’exercice est faible et plus le prix du put est faible.
Aux limites si E tend vers 0 le prix du put tend vers 0, si E tend vers l’infini le prix du put tend vers l’infini.
Influence du taux d’intérêt : une hausse des taux d’intérêt provoque une augmentation du prix du call. En effet, l’achat d’un call permet d’être acquéreur du support moyennant un versement différé égal au prix d’exercice. Or, une hausse des taux diminue la valeur à emprunter correspondant au versement du prix d’exercice. Emprunter deux montants au même moment M1 et M2 pour que la valeur soit de 100 dans 5 mois alors que les taux sont à 10% (M1) ou à 5%.(M2) implique que M2 est supérieur à M1. En d’autres termes une hausse des taux a pour effet de diminuer la valeur présente du prix d’exercice et comme nous l’avons vu plus haut plus le prix d’exercice d’un call est faible plus son prix est élevé.
Dans le cas d’un put le résultat est l’inverse de celui obtenu pour un call. Une hausse des taux d’intérêt provoque une diminution du prix du put. L’investisseur lorsqu’il exerce un put reçoit un montant en euros égal au prix d’exercice du put et se trouve de ce fait vendeur de titres. Dans ce cas le montant à placer lorsque le taux est à 10% (M1) est plus faible que lorsqu’il est à 5% (M2) ou encore M2 est inférieur à M1. Or nous savons que lorsque le prix d’exercice d’un put diminue le prix du put diminue.
L’influence des variations des taux d’intérêt sur les prix d’un call ou d’un put ne sont pas importantes et sont négligées dans la pratique.
Évolution du warrant en fonction de la volatilité : La volatilité d’un titre est une mesure statistique de l’amplitude de ses variations. Plus les variations du titre sont fortes et plus la volatilité est importante. Dans le cas d’une hausse ou d’une baisse très régulière voir d’une stabilité du support la volatilité est faible. Plus le titre est volatil plus il a de chance au cours de la période de vie du call de dépasser la valeur du prix d’exercice. Supposons un titre S1 qui cote 50 lors de l’achat d’un call (C1) de prix d’exercice 60 et dont l’historique des cours montre que les variations de S1 passent fréquemment de 20 à 80; un autre titre S2 cote 50 mais dont l’historique montre une progression faible et uniforme de 45 à 55 (le call C2 a les mêmes caractéristiques que C1). Le titre S1 est plus volatil que S2 et de ce fait la probabilité que le cours de S1 dépasse 60 est plus forte que pour S2. Aussi le prix du call C1 de façon intuitive doit valoir plus cher que C2.
Par le même raisonnement la valeur d’un put de prix d’exercice 40 vaudra plus cher dans le cas de S1 que de S2 (la probabilité de voir le cours de S1 passer en dessous de 40 est plus forte que dans le cas de S2). Aussi plus la volatilité augmente et plus la valeur du put ou du call augmente.
Rappelons que des 5 paramètres qui définissent une option la volatilité est le seul qui soit exogène c’est à dire « venant du dehors » elle fait l’objet d’une estimation qui peut varier d’un investisseur à l’autre.
Incidence de la durée de vie : L’achat d’un warrant équivaut à la « détention », à un instant t, d’une probabilité de voir durant la vie de l’option le cours du sous-jacent devenir supérieur (dans le cas d’un call) ou inférieur (pour un put) au prix d’exercice. De ce point de vue un call ou un put américains ont une valeur d’autant plus forte que la durée de vie est importante (c’est l’effet volatilité). En effet si l’écart entre le titre S est important le call ou le put peuvent être exercés à tout moment ce qui conduit à un gain immédiatement « réalisable » pour l’investisseur. Dans le cas d’options à l’européenne l’exercice n’intervient qu’à la date de l’échéance ce qui rend plus aléatoire le gain car même si le cours du warrant durant la vie de l’option vous a donné raison sa valeur est soumise à la loi du marché et non à celle de l’exercice qui régule de façon continue sa valeur.
Par exemple supposons deux puts l’un européen (le plus long P2 sur 9 mois) et l’autre américain (plus court P1 sur 3mois) de même prix d’exercice 70 sur un titre S qui cote 80. La valeur de P2 semble être supérieure à celle de P1 car l’espoir de voir le titre S coter en dessous de 70 est plus forte durant les 9 mois à venir que dans les 3 mois qui suivent. Cependant si dans la période des 3 premiers mois, par exemple 1 semaine après l’achat des puts, le titre S passe à 50 vous pouvez exercer le put court qui de se fait doit coter par la force des choses au moins 20 (différence entre le prix d’exercice 70 et le cours du titre qui cote 50), cependant le cours du put européen plus long peut coter moins de 20 car il est soumis uniquement à la loi du marché !… Aussi la valeur d’un put long européen peut être ou non supérieure à celle d’un put américain de durée de vie plus courte. Cependant pour les puts américains plus la durée de vie est importante plus leur valeur est forte. En effet, la valeur d’aujourd’hui de recevoir 70 dans trois mois est plus importante que dans 9 mois( effet d’actualisation). Dans ce cas plus le temps s’éloigne plus la valeur actuelle diminue ce qui revient à dire que le temps à pour effet de diminuer le prix d’exercice d’un put. Or nous savons que plus le prix d’exercice d’un put diminue plus sa valeur est faible. Enfin entre deux puts européens de durée de vie différente le put le plus court peut avoir une valeur supérieure ou inférieure à celui de durée de vie plus longue.
Dans le cas d’un call (comme pour un put) nous avons vu que l’effet temps, au sens de la volatilité, avait un effet positif sur leur valeur. Il en va de même pour l’actualisation du prix d’exercice du call. La valeur d’aujourd’hui de payer 100 dans 3 mois est plus forte que celle dans 9 mois. Ceci revient à dire que plus la durée de vie d’un call est élevée plus le prix d’exercice diminue ce qui a pour effet de d’augmenter la valeur du call.
En résumé, la valeur d’un call ou d’un put américain croît avec leur durée de vie. Pour les puts européens les effets de volatilité et d’actualisation jouent en sens inverse et ne permettent pas de conclure. Enfin plus le temps passe plus la valeur d’une option américaine (call ou put) diminue, pour des puts européens le débat reste ouvert.